traitement de données aléatoires

Les mathématiques permettent de modéliser des tendances observées dans l'entreprise et sur les marchés, et, à partir de propriétés énoncées (que l'on ne cherchera pas à démontrer), d'extrapoler et de mieux maîtriser certains risques.

L'un des outils mathématiques de base est la variable aléatoire. C'est une application qui associe à chaque xi, valeur possible de l'épreuve, sa probabilité d'apparition pi (on parle de fonction de distribution).

. Les variables aléatoires discrètes
Une variable est discrète quand elle peut prendre des valeurs entières, discontinues (comprises dans un intervalle). Il s'agit souvent de dénombrement.

La distribution cumulée des probabilités est appelée fonction de répartition :
F(x) = P(X<xi)

On appelle espérance mathématique la valeur moyenne de la variable.
Si X est discrète :
E(X)=x1P(x1)+...+xn P(xn)

variance : dispersion de la variable par rapport à son espérance.
C'est la somme des carrés des écarts à l'espérance pondérée par leur probabilité.
Si m = E(X)

Si équiprobabilité, on a aussi :
 [somme de l'écart au carré] ÷ nombre d'observations = variance.
propriété :                                      

 = x1² P(x1)+...+xn² P(xn) -(E(X))²

On utilise en général plus la racine de la variance : l'écart type :
 

principales propriétés de l'espérance et de la variance


covariance :  mesure la corrélation de deux séries de données. Plus elle est faible, plus les séries sont indépendantes. A l'inverse, plus la covariance est élevée, plus les séries sont liées. Et si deux variables sont complètement indépendantes, alors leur covariance est nulle.
La covariance de deux séries de données est la moyenne des aires des rectangles définis par chaque couple de données et la moyenne des deux séries.

notion utilisé par exemple pour étudier la corrélation de la variation de deux titres :
gestion du risque en bourse

on a aussi cov (X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]


. Les variables aléatoires continues
Une variable aléatoire est continue si elle peut prendre toutes les valeurs dans un
intervalle donné (borné ou non borné).
Dans ce cas, on s'intéresse à la probabilité que la variable aléatoire X prenne des valeurs comprises dans un intervalle [a,b] tel que P(a ≤ X ≤ b).
Si X suit une fonction f qui dessine une courbe appelée "densité de" probabilité, sa fonction de répartition : probabilité que X soit compris entre a et b est égale à F(b) - F(a) -aire sous la courbe de f sur [a,b]- où F est la primitive de f.

(Pourquoi "densité de" probabilité ? 

Contrairement aux variables discrètes, on n'a pas directement P(X=a).)

Autrement dit, la relation entre la fonction de répartition F et la fonction densité de probabilité f(x) est la suivante :
∀t∈ R, F(t) = P( X < t) =∫f (x) dx
primitive usuelle : La primitive de la fonction est
                                                                                                           pour réel différent de −1.

De même que pour les variables discrètes,