analyse combinatoire et probabilité

L'analyse combinatoire est un outil qui permet : dans un premier temps de dénombrer les possibilités (recherche opérationnelle), pour ensuite proposer une solution optimum.

Le calcul de probabilité permet, à partir d'hypothèses, de déterminer les chances de réalisation d'une possibilité, d'un événement étudié (non-qualité par exemple).

 ANALYSE COMBINATOIRE (source notamment JM Jolion Insa)

. Une permutation de n éléments est le nombre de possibilités de classement de ces n éléments : Pn = n! (soit : n x (n-1) x...x 1)
ex
Classons a,b,c
abc acb bac bca cab cba
Il y a 3! soit 3x2x1 = 6 possibilités.


. Un arrangement de p éléments distincts parmi n est le nombre de possibilités de classement de p éléments choisis parmi n.

ex : le nombre de possibilité d'installer 2 centres de distribution de produits différents parmi 4 lieux géographiques
4!/(4-2)! =4!/2!=4x3x2/2=12


. Une combinaison est un arrangement où l'on ne tient pas compte de l'ordre des p éléments (cas où les éléments sont identiques).

ex : le nombre de possibilités d'installer 2 centres de distribution identiques parmi 4 lieux géographiques.
4!/(2!x(2!))=4x3x2/4=6



PROBABILITÉS

Ah, Pascal... qui du fond du XVII ième nous livre son Pari... Eh bien, il nous laisse aussi un postulat de base des probabilités : Il existe une égalité de chance de réalisation de chacun des éléments élémentaires. (chance d'obtenir un 5 sur un dé = 1/6).

Puis les "fréquentistes" (théorie des fréquences) font l'hypothèse que la probabilité d'apparition de l'événement A est : 

P(A) = a/n
(a= nb d'apparition de l’événement lors de n test ).

Ensuite, les mathématiciens se feront un malin plaisir à dégager des propriétés à partir de certaines hypothèses :

Insa JM Jolion

cas particuliers :
- Les probabilités conditionnelles ou liées
La probabilité de réalisation de l’événement B lorsque l’événement A est réalisé s'appelle "probabilité conditionnelle de B par rapport à A", que l'on note P {B/A} ou P_A(B). On dit également "probabilité de B si A" ou encore "probabilité de B sachant A".
On a alors :
P {B/A} =P {B ∩ A}/P {A} ou P {A ∩ B} = P {B/A} × P {A} = P {A/B} × P {B}

--> Le théorème de Bayes issu de cette égalité permet de chercher la probabilité d'apparition d'une cause Bn sachant A, résultat particulier d'un test. L'objectif est de savoir quelle est la probabilité que cela soit la cause Bn considérée qui soit à l'origine du résultat A.

Formule écrite pour  un événement C (sachant R)  qui a 3 "positions" possibles C1, C2, C3, généralisable pour n positions :