loi binomiale, normale et autres

A. En mathématiques, une loi binomiale de paramètres n et p permet de modéliser la situation suivante :

On renouvelle n fois de manière indépendante une épreuve à deux issues possibles, généralement dénommées respectivement " succès " et " échec ", la probabilité d'un succès étant p, celle d'un échec étant q (= 1 − p). On compte alors le nombre de succès k obtenus à l'issue des n épreuves et on appelle X la variable aléatoire correspondant à ce nombre de succès.

alors

E(X) = np et V(X) =npq.


On distingue deux cas lorsque n tend vers l'infini :

• si p tend vers 0 avec np = a, la loi binomiale converge vers une loi de poisson de paramètre a. En pratique, on remplace la loi binomiale par une loi de Poisson dès que n > 30 et np < 5.

• si p et q sont de même ordre de grandeur, la loi binomiale converge vers une loi normale d'espérance np et de variance npq. En pratique, on remplace une loi binomiale par une loi normale dès que n > 30, np > 5 et nq > 5 (ou npq >= 3).  

loi de poisson

Le principe est que l'on ne considère plus le nombre de succès au bout de n épreuves mais le nombre de succès λ pendant un intervalle de temps T. On s'intéresse à des phénomènes de petites probabilités.

P(k)= P(X=k)= e^-λx λ^k/k! avec E(X)=V(X)= λ

Sous certaines conditions (cf processus de poisson), 
λ=p x n avec n=T/dt 
(p= nb de réalisations pendant un temps très court dt)

     . En pratique, lorsque que λ>=20, on estime que la loi de Poisson suit 
                                une loi normale de paramètres λ, racine de λ.

 

loi normale

On parle de loi normale lorsque l’on a une variable aléatoire continue dépendant d’un grand nombre de causes indépendantes dont les effets s’additionnent et dont aucune n’est prépondérante. Les paramètres de cette loi sont la moyenne m et l'écart type σ.

La fonction densité de répartition a une forme de cloche. Le paramètre  m représente l'axe de symétrie et  σ de degré d'aplatissement de la courbe de la loi normale dont la forme est celle d’une courbe en cloche.

En pratique, si X suit une loi normale de paramètre m et σ, on considérera la variable T telle que T=X-m/ σ  car elle suit une loi normale centrée réduite dont on peut facilement obtenir la probabilité P(T<k) dans une table.

B. loi exponentielle
Une variable donnant des probabilités de durée de vie est souvent modélisée par une loi exponentielle.

Comme pour les lois de Poisson, on ne considère plus le nombre de succès au bout de n épreuves mais le nombre de succès λ (>0) sur un intervalle de temps.

P(X>=x)= e^-λx

E(X)=1/ λ

V(X)=1/ λ ²