estimations mathématiques

On veut estimer les caractéristiques d'une population à partir d'échantillons.
On estime que cette population suit... une loi normale.

D'après les lois statistiques, on pourra estimer que la population mère a les paramètres suivants :

moyenne : celle de l'échantillon.

écart type : √(n/n-1) x σ, ( σ = écart type de l'échantillon)

Intervalle de confiance :
. On cherche à être sûr à 95% -par exemple- (=coefficient α) que la moyenne m de la population se situe entre a et b.
Pour cela, on a besoin d'une variable t que l'on lit dans une table de Student d'après un "degré de liberté" v = n-1 et de 1-α.
si n>30 (échantillon représentatif), alors on estime que m est comprise entre :
 μ - t*σ/√n  et  μ + t*σ/√n.  
μ étant la moyenne de l'échantillon.
si n<30, alors on estime que m est comprise entre μ - t*s/√n  et  μ + t*s/√n.  
s étant l'écart type estimé de la population.

. On utilisera ce même principe pour encadrer une proportion p en remplaçant μ par p et s/√n par √(pq/n). 

Mais dans ce cas, on sait que la proportion p suit une loi normale et on utilise la propriété de la loi normale : P(-x<p<x)=2N(x) -1.

exemple : estimer à +/- 5% la proportion de personnes désireuses de voter pour untel

Note :  

autre utilisation de la notion de degré de liberté :

On utilise aussi la notion de "degré de liberté" pour déterminer si une certaine répartition observée -testés sur n individu- est le fruit du hasard ou suit un "effectif théorique" (une répartition théorique proportionnelle aux sommes en lignes et colonnes) établi sur n aussi. 

Pour cela, on calcule le khi2 = somme de [(effectifs observés - théoriques) au carré / effectif théorique].  

Dans ce cas, le degré de liberté = (nombre de lignes - 1) x (nombre de colonnes - 1).

Si le résultat du calcul est supérieur à la valeur lue dans la table,  on estime qu'il ne peut pas y avoir de corrélation entre les valeurs observés et un certain effectif théorique.

Pour en savoir plus sur le test du khi 2